О преподавании математики
Saturday, 18 December 2010 01:08![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
skiminokЕсть вот такая замечательная ссылка: http://www.ega-math.narod.ru/Arnold2.htm
В ней две статьи из далекого 1998 года. Одна написана великим В. Арнольдом, так и называется "О преподавании математики", вторая - "Пятое правило арифметики", Виктор Дос.
Я позволю себе привести избранные цитаты:
С тех пор прошло 12 лет. 12 лет назад я проводил беззаботное детство в детском саду, и понятия не имел о том, как решать квадратные уравнения :) Зато умел складывать, умножать, вычитать, делить, возводить в степень обыкновенные числа и десятичные дроби, и считал это само собой разумеющимся и простейшим пареной репы. Последующие 10 лет в школе и (на данный момент) 2.5 года в университете показали мне, как и великим математикам - авторам приведенных статей - всю суровую правду жизни: взрослые люди спокойно остаются на том же уровне, если они не понимают, во-первых, зачем им это нужно, во-вторых, откуда оно берется.
Я периодически общаюсь со школьниками, только что поступившими в лицей, и конкретно в маткласс, из которого я имел удовольствие выйти в свое время. Между нами разница в несчастных 6 лет, но я в точности помню, что мы такими не были. У нас не возникало того древнего, как само образование, вопроса: «Зачем нужны доказательства?». Точнее, он возник, но гораздо раньше, и нам дали понять смысл интуитивно, самостоятельно позволяя выводить факты и обнаруживать эти прекрасные, удивительные вещи, связывающие все буйство и красоту науки математики. Науки, черт возьми, естественной.
Люди уже и у нас считают, что вся суть этих палочек и крючочков - взять и заучить, нигде в реальной жизни оно тебе после экзамена не понадобится. Как в том анекдоте про выпускника, который проволочку в форме интеграла один раз согнул, чтобы телефон из канализационного люка достать. Но это же зло, дети, зло.
Вы приходите на теорию вероятностей - и слушаете колгоморовскую аксиоматику и сигма-алгебру событий, после чего от вас требуют самостоятельно вывести на экзамене дисперсию и матожидание гауссовского распределения, паскалевского распределения, биномиального распределения, геометрического распределения, экспоненциального распределения... Но ни одна собака не заикнется про то, где же вы в конце концов столкнетесь с этими распределениями. Поток событий, приходящий не сервер не расскажут, марковские цепи и бесконечно повторяемый выбор между альтернативами - на самостоятельную работу, погрешности вам и так уже в общих чертах на физике год назад описали. Вы не научитесь читать диаграммы и графики. Вы не знаете, что такое репрезентативная выборка и почему этот кандидат в депутаты облсовета сейчас демонстрирует вам по телевизору откровенную бредятину. И упорно будете получать в телешоу козу вместо автомобиля.
На дискретной математике - одна абстрактная структура с ассоциативной операцией, другая структура с двумя операциями, одна дистрибутивна по другой, а если там есть еще и нейтральный элемент по второй операции, то мы рассмотрим наличие или отсутствие его делителей и получим еще два подвида абстрактных структур, затем добавим еще три аксиомы, получим общим числом восемь и выделим последнюю абстрактную структуру в отдельный предмет, потому что она реально вам пригодится и там будет рассказываться с примерами.... нет, ну ё-моё!!! А остальное, значит, не пригодится?! Галуа свою короткую жизнь положил на то, чтобы вы тут за один месяц научились бросаться умными словами вроде "идемпотентное кольцо" и ни на один жалкий грамм не понимали, какое реальное применение оно имеет к проектированию и при чем тут, например, текстуры на плоскостях в вашем любимом Контр-Страйке? И что общей формулы решения нет для уравнения выше четвертой степени, вам сообщили, вы со скорбным лицом покивали, подумали про себя "Если мне попадется уравнение на экзамене - значит, у него есть метод решения попроще, а там уже и Wolfram Mathematica справится..."
А потом людям рассказывают о силе и мощи функционального программирования, они обретаются к Хаскеллу, а там же, кирдык ему в печенку, монады, моноиды, категории, функторы, стрелки, и вообще всякие зигохистоморфические препроморфизмы! И паренек в спешке улепетывает обратно, к своему jQuery. Там не надо знать математику (в программировании! испокон веков точной дисциплине!). Там достаточно интерфейсики клепать.
И когда на Хабре выкладывается статья о MapReduce с гордым подзаголовком "попробую без зауми" - это, черт возьми, клинический случай. Народ не интересует, откуда это взялось. Не интересует, правильно ли это вообще. Не интересуют особые рассуждения и тонкие случаи. Не интересуют модификации теории под другие неожиданные приложения. Они честно уверены, что готовая формула, или, в нашем случае, алгоритм, втиснется в их сферу: заработает - круто, не заработает - найдем другую дллку, мало их на свете, что ли. Это кошмарно.
Как говорил один мой преподаватель с первого курса, глядя на то, как мы не в силах решить тупейшую задачу: "У вас есть уникальная особенность: вы совершенно не умеете писать". Именно это я сейчас и вижу в тех школьниках и первокурсниках, которые попадаются мне на глаза - на факультативах, при репетиторстве, просто так. Они не умеют писать - то есть расписывать. Брать формулировку и выводить из нее следствия, идя хоть в какую-нибудь сторону, пользуясь известными фактами. В таких случаях и говорят: "ответ на задачу лежит в условии задачи", только перепиши другими словами, пойми наконец взаимосвязь эту скрытую, красивую, между двумя разными областями знаний!!! Не видят. Не понимают. Не считают нужным.
Я помню, когда я впервые узнал, что свободно подвешенная за два конца нить располагается в воздухе по закону гиперболического косинуса. Не поверил. Сообща с преподавателем это дело потом было доказано, и я еще несколько дней находился под впечатлением красивого приложения к реальной жизни.
Сейчас прошло меньше года - до меня за это время наконец дошло, что взаимосвязи математики с физикой жизни есть и гораздо более потрясающие, и в больших количествах. Потому что так изначально заложено в природе обоих наук, в конце-то концов. Но тогда это меня потрясло - и я сейчас могу сказать, почему. Потому что система образования не больно-то балует нас подобными примерами в первые 10+ лет обучения, и мы учим математику как абстрактную игру, забаву, в которой можно свести к моделям и играться объектами, обозначаемыми маленькими латинскими буквами.
Я прекрасно понимаю потребность подобных шагов в XX веке, когда господа Кантор, Гедель, Гильберт, Рассел и прочая CS-компания своими совместными действиями породили третий кризис математики. Который, кстати, до сих пор не закончен, и полчища математиков-логиков и теоретиков Computer Science по всему миру пытаются найти модель ZFC, или найти иную аксиоматику с доказанной непротиворечивостью, или решить наконец, равны ли P и NP, или разобраться с континуум-гипотезой... Это правильно, это основания математики, это необходимо для того, чтобы мы были уверены, что все наши результаты верны и мы можем далее продолжать работать. Но на самом-то деле в большинстве случаев есть правдоподобное "доказательство" корректности и непротиворечивости абстрактной структуры: в реальной жизни у нее есть модель, которая ведет себя так или почти так, как и предсказывает теория. А что компьютер не всегда стопроцентно сможет доказать теорему - ну что ж, увы. Вы же не думали, что все будет так легко. В конце концов, этой "легкости" противоречит сама жизнь и физика.
Не надо переносить этот подход на образование. Дети и студенты - скоропортящийся материал, мы быстро приобретаем свой собственный набор ценностей, который легко может отличаться от общепринятого миром. И понимание математических принципов, которые "рулят" миром, и как именно и где они им "рулят", в последнее время совершенно не входит в необходимый набор. Что печально. И дает катастрофические результаты, как показывают все те же статьи, приведенные мною в самом начале.
P.S. Мой блог посещают не самые глупые люди, насколько я знаю. В том числе куча программистов и других околоматематических специальностей.
Мне очень любопытно задать вам все тот же вопрос, который задавал Дос французским студентам. Сможете ли вы внятно объяснить, а почему же синус 30° равен 1/2? Ответ в комментах спойлерите, пожалуйста (цвет фона == цвет текста).
(UPD: наличие этого вопроса в постскриптуме НЕ значит, что на остальные размышления в посте не надо пробовать отвечать и дискутировать!)
Мне хочется верить, что в данной конкретной (очень нерепрезентативной) выборке все будет хорошо.
Совершенно не так, как в высших учебных заведениях XXI века.
Независимо от страны.
В ней две статьи из далекого 1998 года. Одна написана великим В. Арнольдом, так и называется "О преподавании математики", вторая - "Пятое правило арифметики", Виктор Дос.
Я позволю себе привести избранные цитаты:
...схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам – и со стороны несчастных школьников (некоторые из которых со временем стали министрами), и со стороны пользователей.
Ученик французской начальной школы на вопрос «сколько будет 2+3» ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают!
Никогда не существовало и не будет существовать никаких «прикладных наук», есть лишь приложения наук (весьма полезные!)... Значительная часть сверхабстрактной деятельности сводится просто к индустриализации беззастенчивого отнимания открытий у первооткрывателей и их систематическому приписыванию эпигонам-обобщателям.
«Тонкий яд математического образования» (по выражению Ф. Клейна) для физика состоит именно в том, что абсолютизируемая модель отрывается от реальности и перестаёт с нею сравниваться.
У меня даже создалось впечатление, что математики-схоласты (мало знакомые с физикой) верят в принципиальное отличие аксиоматической математики от обычного в естествознании моделирования (всегда нуждающегося в последующем контроле выводов экспериментом).
Понять коммутативность умножения можно, только либо пересчитывая выстроенных солдат по рядам и по шеренгам, либо вычисляя двумя способами площадь прямоугольника. Попытки обойтись без этого вмешательства физики и реальности в математику – сектанство и изоляционизм, разрушающие образ математики как полезной человеческой деятельности в глазах всех разумных людей.
Среди пятидесяти моих учеников-первокурсников восемь человек считает, что три шестых (3/6) равно одной трети (1/3). Подчеркну: это молодые люди, которые только что сдали «научный БАК» [а-ля ЕГЭ], т.е. тот, в котором приоритет отдаётся математике и физике... Я их переучил: на очередном занятии (темой которого вообще-то была производная функции) я сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равно 1/2, а вовсе не 1/3 как считают некоторые из присутствующих. Реакция была такая: «Да? Хорошо...». Если бы я им сообщил, что это равно одной десятой, реакция была бы точно такой же.
Во французской школе операция деления вводится в виде формального алгоритма деления в столбик, который позволяет из двух чисел (делимого и делителя) путём строго определённых математических манипуляций получать третье число (результат деления).
Каждый год упорно задаю своим ученикам один и тот же вопрос: кто может объяснить, почему синус тридцати градусов равен 1/2? Я преподаю уже пять лет и каждый год у меня около пятидесяти учеников, так вот из двухсот пятидесяти моих учеников за всё это время на этот вопрос мне не ответил ни один человек. Более того, по их мнению, сам вопрос лишён смысла: то, чему равны все эти синусы и косинусы (так же, впрочем, как и все остальные знания, которыми их пичкали в школе, а теперь продолжают пичкать в университете) — это просто некая данность, которую нужно запомнить. И вот каждый год я, как последний зануда, пытаюсь их в этом разубеждать, пытаюсь рассказывать что откуда берётся, какое отношение всё это имеет к миру, в котором мы живем, тужусь изо всех сил рассказывать так, чтобы было интересно, а они смотрят на меня, как на придурка, и терпеливо ждут, когда же я, наконец, угомонюсь, и сообщу им, что собственно нужно заучить на память. Своим большим успехом я считаю, если к концу семестра один или два человека из группы пару раз зададут мне вопрос «почему?».
Когда нужно было решить уравнение 5x + 3 = 0, один мой студент исписал целую страницу рассуждениями про структуру и счётностъ множества решений такого типа уравнений, но само уравнение решить так и не смог. Хорошо известно, что получается, если из учения, веры или науки уходит дух, а остаётся один формальный ритуал: получается маразм.
Дело в том, что современному развитому обществу нужны только хорошие исполнители. Творческие, думающие люди, конечно, тоже требуются, но их нужно буквально единицы. Поэтому вся система образования должна быть настроена на отбор, выращивание и дрессировку именно хороших исполнителей, а учить думать молодых людей совершенно не нужно — в современном обществе это будет только вредить их будущей профессиональной деятельности, какой бы она ни была. Что же касается творческих личностей, то о них особенно беспокоиться не следует — тот, кто действительно талантлив, так или иначе всё равно пробьётся.
С тех пор прошло 12 лет. 12 лет назад я проводил беззаботное детство в детском саду, и понятия не имел о том, как решать квадратные уравнения :) Зато умел складывать, умножать, вычитать, делить, возводить в степень обыкновенные числа и десятичные дроби, и считал это само собой разумеющимся и простейшим пареной репы. Последующие 10 лет в школе и (на данный момент) 2.5 года в университете показали мне, как и великим математикам - авторам приведенных статей - всю суровую правду жизни: взрослые люди спокойно остаются на том же уровне, если они не понимают, во-первых, зачем им это нужно, во-вторых, откуда оно берется.
Я периодически общаюсь со школьниками, только что поступившими в лицей, и конкретно в маткласс, из которого я имел удовольствие выйти в свое время. Между нами разница в несчастных 6 лет, но я в точности помню, что мы такими не были. У нас не возникало того древнего, как само образование, вопроса: «Зачем нужны доказательства?». Точнее, он возник, но гораздо раньше, и нам дали понять смысл интуитивно, самостоятельно позволяя выводить факты и обнаруживать эти прекрасные, удивительные вещи, связывающие все буйство и красоту науки математики. Науки, черт возьми, естественной.
Люди уже и у нас считают, что вся суть этих палочек и крючочков - взять и заучить, нигде в реальной жизни оно тебе после экзамена не понадобится. Как в том анекдоте про выпускника, который проволочку в форме интеграла один раз согнул, чтобы телефон из канализационного люка достать. Но это же зло, дети, зло.
Вы приходите на теорию вероятностей - и слушаете колгоморовскую аксиоматику и сигма-алгебру событий, после чего от вас требуют самостоятельно вывести на экзамене дисперсию и матожидание гауссовского распределения, паскалевского распределения, биномиального распределения, геометрического распределения, экспоненциального распределения... Но ни одна собака не заикнется про то, где же вы в конце концов столкнетесь с этими распределениями. Поток событий, приходящий не сервер не расскажут, марковские цепи и бесконечно повторяемый выбор между альтернативами - на самостоятельную работу, погрешности вам и так уже в общих чертах на физике год назад описали. Вы не научитесь читать диаграммы и графики. Вы не знаете, что такое репрезентативная выборка и почему этот кандидат в депутаты облсовета сейчас демонстрирует вам по телевизору откровенную бредятину. И упорно будете получать в телешоу козу вместо автомобиля.
На дискретной математике - одна абстрактная структура с ассоциативной операцией, другая структура с двумя операциями, одна дистрибутивна по другой, а если там есть еще и нейтральный элемент по второй операции, то мы рассмотрим наличие или отсутствие его делителей и получим еще два подвида абстрактных структур, затем добавим еще три аксиомы, получим общим числом восемь и выделим последнюю абстрактную структуру в отдельный предмет, потому что она реально вам пригодится и там будет рассказываться с примерами.... нет, ну ё-моё!!! А остальное, значит, не пригодится?! Галуа свою короткую жизнь положил на то, чтобы вы тут за один месяц научились бросаться умными словами вроде "идемпотентное кольцо" и ни на один жалкий грамм не понимали, какое реальное применение оно имеет к проектированию и при чем тут, например, текстуры на плоскостях в вашем любимом Контр-Страйке? И что общей формулы решения нет для уравнения выше четвертой степени, вам сообщили, вы со скорбным лицом покивали, подумали про себя "Если мне попадется уравнение на экзамене - значит, у него есть метод решения попроще, а там уже и Wolfram Mathematica справится..."
А потом людям рассказывают о силе и мощи функционального программирования, они обретаются к Хаскеллу, а там же, кирдык ему в печенку, монады, моноиды, категории, функторы, стрелки, и вообще всякие зигохистоморфические препроморфизмы! И паренек в спешке улепетывает обратно, к своему jQuery. Там не надо знать математику (в программировании! испокон веков точной дисциплине!). Там достаточно интерфейсики клепать.
И когда на Хабре выкладывается статья о MapReduce с гордым подзаголовком "попробую без зауми" - это, черт возьми, клинический случай. Народ не интересует, откуда это взялось. Не интересует, правильно ли это вообще. Не интересуют особые рассуждения и тонкие случаи. Не интересуют модификации теории под другие неожиданные приложения. Они честно уверены, что готовая формула, или, в нашем случае, алгоритм, втиснется в их сферу: заработает - круто, не заработает - найдем другую дллку, мало их на свете, что ли. Это кошмарно.
Как говорил один мой преподаватель с первого курса, глядя на то, как мы не в силах решить тупейшую задачу: "У вас есть уникальная особенность: вы совершенно не умеете писать". Именно это я сейчас и вижу в тех школьниках и первокурсниках, которые попадаются мне на глаза - на факультативах, при репетиторстве, просто так. Они не умеют писать - то есть расписывать. Брать формулировку и выводить из нее следствия, идя хоть в какую-нибудь сторону, пользуясь известными фактами. В таких случаях и говорят: "ответ на задачу лежит в условии задачи", только перепиши другими словами, пойми наконец взаимосвязь эту скрытую, красивую, между двумя разными областями знаний!!! Не видят. Не понимают. Не считают нужным.
Я помню, когда я впервые узнал, что свободно подвешенная за два конца нить располагается в воздухе по закону гиперболического косинуса. Не поверил. Сообща с преподавателем это дело потом было доказано, и я еще несколько дней находился под впечатлением красивого приложения к реальной жизни.
Сейчас прошло меньше года - до меня за это время наконец дошло, что взаимосвязи математики с физикой жизни есть и гораздо более потрясающие, и в больших количествах. Потому что так изначально заложено в природе обоих наук, в конце-то концов. Но тогда это меня потрясло - и я сейчас могу сказать, почему. Потому что система образования не больно-то балует нас подобными примерами в первые 10+ лет обучения, и мы учим математику как абстрактную игру, забаву, в которой можно свести к моделям и играться объектами, обозначаемыми маленькими латинскими буквами.
Я прекрасно понимаю потребность подобных шагов в XX веке, когда господа Кантор, Гедель, Гильберт, Рассел и прочая CS-компания своими совместными действиями породили третий кризис математики. Который, кстати, до сих пор не закончен, и полчища математиков-логиков и теоретиков Computer Science по всему миру пытаются найти модель ZFC, или найти иную аксиоматику с доказанной непротиворечивостью, или решить наконец, равны ли P и NP, или разобраться с континуум-гипотезой... Это правильно, это основания математики, это необходимо для того, чтобы мы были уверены, что все наши результаты верны и мы можем далее продолжать работать. Но на самом-то деле в большинстве случаев есть правдоподобное "доказательство" корректности и непротиворечивости абстрактной структуры: в реальной жизни у нее есть модель, которая ведет себя так или почти так, как и предсказывает теория. А что компьютер не всегда стопроцентно сможет доказать теорему - ну что ж, увы. Вы же не думали, что все будет так легко. В конце концов, этой "легкости" противоречит сама жизнь и физика.
Не надо переносить этот подход на образование. Дети и студенты - скоропортящийся материал, мы быстро приобретаем свой собственный набор ценностей, который легко может отличаться от общепринятого миром. И понимание математических принципов, которые "рулят" миром, и как именно и где они им "рулят", в последнее время совершенно не входит в необходимый набор. Что печально. И дает катастрофические результаты, как показывают все те же статьи, приведенные мною в самом начале.
P.S. Мой блог посещают не самые глупые люди, насколько я знаю. В том числе куча программистов и других околоматематических специальностей.
Мне очень любопытно задать вам все тот же вопрос, который задавал Дос французским студентам. Сможете ли вы внятно объяснить, а почему же синус 30° равен 1/2? Ответ в комментах спойлерите, пожалуйста (цвет фона == цвет текста).
(UPD: наличие этого вопроса в постскриптуме НЕ значит, что на остальные размышления в посте не надо пробовать отвечать и дискутировать!)
Мне хочется верить, что в данной конкретной (очень нерепрезентативной) выборке все будет хорошо.
Совершенно не так, как в высших учебных заведениях XXI века.
Независимо от страны.